指数と累乗の意味を正しく理解しよう

「aのn乗」とは、aをn回かけるという意味。指数は、「同じ数を何回かけたか」を表します。

＜例＞
  2³（2の3乗）＝ 2 × 2 × 2 ＝ 8
  5²（5の2乗）＝ 5 × 5 ＝ 25

ここで、「2」が底（てい）、「3」が指数です。このような書き方全体を「累乗（るいじょう）」と呼びます。

指数が1や0のときも押さえよう！

指数が小さい数字でも特別なルールがある。

・a¹（1乗）＝ a（1回しかかけないのでそのまま）

・a⁰（0乗）＝ 1（ただしa≠0）

＜例＞

　7¹＝7

　3⁰＝1　、　10⁰＝1

【注意】0⁰は定義されませんので、問題として出されることはありません。

負の数や小数の指数にも慣れておこう

マイナスの数にはカッコの有無で意味が変わる！

・(−3)² ＝ (−3) × (−3) ＝ 9

・−3² ＝ −(3 × 3) ＝ −9

また、小数や分数にも累乗のルールはそのまま使えます。

0.5²＝0.25

(1/2)³＝1/8

カッコの位置で答えが変わるので、記号の扱い方を正確に理解することが大切です。

「同じ底」の掛け算＝指数は足す！

底（同じ数）の掛け算は、指数を足せばOK！

公式： aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

＜例＞2³ × 2² ＝ 2⁵ ＝ 32　、5² × 5⁴ ＝ 5⁶ ＝ 15,625

【注意】底が違うとこのルールは使えません。3² × 4² は計算するしかありません。

「同じ底」の割り算＝指数は引く！

割り算では指数を引く！

公式： aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（m > nのとき）

＜例＞3⁵ ÷ 3² ＝ 3³ ＝ 27　、　7⁴ ÷ 7¹ ＝ 7³ ＝ 343

【注意】m ＜ n のときは、指数がマイナスになり、高校内容になるため中学では扱わないか、分数で表現します（例：2² ÷ 2⁴ = 1/2² = 1/4）

累乗の累乗＝指数はかけ算！

カッコの中の指数に、外の指数をかける。この法則は文字式の応用問題にもよく使われます。

公式： (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

＜例＞(2²)³ ＝ 2⁶ ＝ 64　、(5³)² ＝ 5⁶ ＝ 15,625

【注意】外側の指数をそのまま掛けることを忘れないように！

累乗の計算―「カッコの有無」で答えが変わる！

−2²と(−2)²など、符号の扱いに注意。

＜例＞

　−3²＝？ → 正解：−9

　(−3)²＝？ → 正解：9

【ポイント】累乗はまずカッコの有無を確認！

特に負の数の2乗や3乗は、計算順序（マイナスをいつ付けるか）を間違えないようにしましょう。

指数法則を組み合わせた計算問題

足す・引く・かけるの使い分けができるかが勝負！

＜例＞2³ × 2² ÷ 2¹　→　 2³⁺²⁻¹ ＝ 2⁴ ＝ 16

【ポイント】指数同士を先に整理すると早く・正確に解ける。

複数の指数法則を一度に使う練習をしておくと、テスト本番で焦らず対応できます。

文字式に含まれる指数の整理

文字を含む式では指数法則がよく使われる！

＜例＞x² × x³ ＝ x⁵　、　(y²)³ ＝ y⁶　、　a⁵ ÷ a² ＝ a³

【ポイント】文字でも数字でもルールは同じ。指数だけに注目して計算する練習を重ねましょう。

−3²と(−3)²を混同する

マイナスのつき方で答えが正反対になる！

＜例＞

　−3²＝？ → −(3×3)＝−9（正解）

　(−3)²＝？ → (−3)×(−3)＝9（正解）

【対策】指数がついている数に「カッコがあるかどうか」を必ずチェック。符号を含めた全体が2乗されるか、マイナスが後からつくかの違いを理解しましょう。

指数法則を混同する

「足す・引く・かける」の使い分けを間違えやすい。

＜よくあるミス＞

　a² × a³ = a⁶（✕）　正解は：a² × a³ = a⁵（指数を足す）

　(a²)³ = a⁶ が a⁵になるなど（✕）

【対策】計算する前に「何の法則を使うのか」を一度書き出して整理するクセをつけると◎。

a⁰の扱いを誤解する

「0乗は1」というルールを忘れやすい。

＜例＞　5⁰＝？ → 正解：1　、　−2⁰＝？ → 正解：−1

【対策】「何でも0乗＝1」という感覚ではなく、底の値が何かを見て冷静に判断すること。

見た目で「計算済み」と思い込む

問題文が長いと、途中の指数を見落としやすい。

＜例＞2 × 3² + 4 → × ＝ (2×3)² + 4 などと勘違い

【対策】指数のある項は必ず別のパーツとして見る。筆算や途中式を書いて丁寧に処理することが大切です。